Geometrie und Koordinaten

Kartesisches Koordinatensystem

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Die Koordinaten von M sind \(M(8;5)\) oder \(M(8|5)\).

Definitionen

Ein Koordinatensystem besteht aus:

  • Zwei Achsen, die sich meistens senkrecht kreuzen;
  • Eine Einheit auf der \(x\)-Achse und auf der \(y\)-Achse.

Der Schnittpunkt der \(x\)- und der \(y\)-Achse heißt der Ursprung oder der Nullpunkt.

Die \(x\)-Achse wird meistens waagrecht gezeichnet und die \(y\)-Achse senkrecht.

Bemerkungen

  • Ein rechter Winkel bezeichnet man in Deutschland mit einem kleinen Viertelkreis mit Punkt.
  • Bei einem Koordinatensystem haben wir vier Abteilungen der Ebene: zwei liegen rechts der senkrechten Achse und zwei liegen links (sie werden gegen den Uhrzeigersinn nummeriert).

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Länge einer Strecke

Definition

Wenn man zwei Punkte A und B verbindet, dann erhält man eine Strecke: die Strecke [AB].

Die Länge der Strecke [AB] heißt auch der Abstand, oder die Entfernung, der Punkte A und B.

Die Länge wird mit einem Strich über den beiden Buchstaben gekennzeichnet: \(\overline{AB}\).

Die Entfernungsformel

Man kann die Länge einer Strecke mit den Koordinaten berechnen :

Theorem

Für zwei Punkte \(A(x_1|y_1)\) und \(B(x_2|y_2)\) ist der Abstand \(\overline{AB}\) gleich :

\[\overline{AB}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\]

Beispiel

Koordinaten des Mittelpunktes

Die Mittelpunktsformel

Mit der folgenden Formel kann man einfach die Koordinaten des Mittelpunktes einer Strecke \([AB]\) bestimmen.

Theorem

Für zwei Punkte \(A(x_1|y_1)\) und \(B(x_2|y_2)\) sind die Koordinaten des Mittelpunktes \(M\) der Strecke \([AB]\) gleich :

\[M\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right|\left.\frac{y_1+y_2}{2}\right)\]

Beispiel